• 回顾西南联合大学数学系
  • 2009-9-23 浏览() 【
  • 徐利治 口述

    (大连理工大学数学科学研究所,大连 116024)

    郭金海 袁向东访问 整理

    (中国科学院自然科学史研究所,北京 100010) (中国科学院 数学与系统科学研究院,北京 100080)

    摘要:西南联合大学数学系在中国近代数学史上占有重要地位。通过对该系培养的数学家徐利治的访谈,提供一份关于西南联合大学数学系的史料。从他对西南联合大学数学系招考、课程、教材及参考书、数学讨论班、教师与教学风格、学生管理与研究生培养等方面的回忆,以及他对西南联合大学数学系的亲身感悟,可以了解该系教育活动的一些细节,并可以看出这个战时数学教育机构的某些特色。

    关键词:西南联合大学数学系;教育工作;战时;中国近代数学

    中图分类号:N092:G649.29

    文献标识码:E 文章编号:1000-0798(2004)02-0175-10

    西南联合大学(以下简称“联大”)数学系是抗战时期由北京大学数学系、清华大学数学系,以及南开大学数学系组建的高等数学教育机构。在战时教学、科研,以及生活条件异常艰难的情况下,这个新建的数学系取得了同期其他高等数学教育机构与之难以比拟的成绩,较为出色地完成了战时国立高等数学教育机构的使命,并成为那一时期中国数学发展的一个重要表征。目前,学术界对联大数学系的课程与教学、教师与学生的概况,已经进行了介绍与研究。[1-4]但联大数学系教育工作的细节及特色,尚值得进一步挖掘和探讨。徐利治教授的访谈录,对此提供了一份史料。

    徐利治,大连理工大学数学科学研究所教授。1920年出生,祖籍江苏,早年就读于江苏省立洛杜乡村师范学校。抗战爆发后,避难到西南,后于1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。1940年毕业后,考取联大数学系。入学不久,迫于经济拮据,休学一年。在联大复学后,悉心钻研数学名著,参加数学讨论班,接触到数学研究工作的前沿。1945年大学毕业前,在国际数学杂志上发表了4篇专业研究论文。[5] 1945年毕业后,经华罗庚举荐,清华数学系主任杨武之首肯,留任华罗庚的助教。1946年联大结束,随清华返回北京(时称北平),遂后不到三年,便由助教提升为教员。1949年新中国成立前,赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问。回国后,继续在清华任教,旋晋升为副教授。1952年全国高等学校院系调整,同王湘浩、江泽坚等一起在原东北人民大学(今吉林大学)组建数学系。此后,长期致力于多维渐近积分、无界函数逼近,以及高维边界型求积法等方面的研究,且在国内倡导数学方法论的研究,并取得了重要的成就。[6]

    访谈录基于2003年4月初郭金海、袁向东对徐利治的访问,郭金海于同年10月20致徐利治的信。徐利治于同年8月26日、10月1日,以及11月4日写给郭金海的信函。

    1、招考

    问:您报考联大时,清华、北大、南开三个学校是作为一个统一整体招考,还是这三校单独招考?

    徐利治(以下简称“徐”):不是联大招考,也不是清华、北大、南开这三校单独招考,而是国民政府教育部在全国抗战时期的大后方统一招考,分文科组与理工组。考文科组数学简单一点,考理工组数学多一点。我1940年考大学时,报考的是理工组。考试科目有数学、中文、英文、历史、地理等。其中,数学要考大代数与解析几何。大代数为高中代数,比现在的高中代数内容深。文科组数学不考大代数和解析几何,考一般的中学代数和一点平面几何。那时学生也需填报志愿,分第一,第二志愿等。后来我被联大录取。

    问:教育目标是关系一所教育机构发展方向与教育成效的重要因素之一。组建而成的联大数学系的教育目标是什么?

    徐:联大既设有数学系,又设有师范学院数学系。从理想目标看,联大数学系是为了培养数学专家,师范学院数学系是为了培养数学教师。[①]但由于战时教学设备较差,缺乏必需的书籍杂志,而且师生生活艰苦等因素的影响,联大数学系的教育目标未能完全实行。[1]

    2、课程

    问:联大数学系课程设置的模式是什么?

    徐:联大数学系主要是学习和传播了欧美的数学知识和文化,也继承了欧美文化传统。许多留学回国的教师开设了他们所精通或擅长的数学课程。那时的课程设置基本上是美国式的,但在一定程度上也参照了英国的模式。

    问:联大数学系自1938年成立至1946年结束,共计8个学年度,每个年度均出台新的课程设计方案。必修课程虽每年度皆有更动,但从整体来看,“三高(高等代数、高等微积分及高等几何)”的基础性地位较高。[7]据统计,有6个学年度均将“三高”列为本科必修课程,分别为1938—1943年间的5个学年度与1944—1945年度。在其他的2个学年度中,虽“三高”没有开齐,但也开设其中的2门。这是否符合实际情况?

    徐:基本符合。联大数学系的课程主要分两种,一种是专业必修课程,另一种是专业选修课程。必修课程是以“三高”为中心的。[②]这是联大数学系课程设置的主要特点之一。我想这样的课程设置对学生系统深入地学习研究分布于代数、分析、几何这三大经典数学分支上的知识是比较有利的。高等代数、高等分析、高等几何分别属于代数、分析、几何这三大经典数学分支。它们不但是进一步深入学习分布于这三个分支的其他高深数学课程的基础,而且是研究20世纪纯粹数学扩张以后新兴起来的勒贝格积分、实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、公理化概率论等学科的关键。从某种程度上讲,“三高” 是迈入专业数学领域的敲门砖。学好“三高”之后,学习其他的课程困难就不大了。

    问:陈省身、江泽涵、华罗庚、许宝騄等先生在联大数学系都开设了他们擅长的课程。这些课程的程度如何?

    徐:他们开设的课程大多属于专业选修课程。[③]有些属于数学新领域的新课,有些则已经接近国际水平,有的在国内还未正式开设过。例如,陈省身先生开设的圆球几何学、外微分方程、高等几何(二)等都是高深的新课。江泽涵先生与陈省身先生还在不同年度间或开设了形势几何学(拓扑学),这门课在抗战之前除清华数学系邀请江泽涵先生开设及江先生在北大数学系开设过之外,尚未见国内其他重要大学数学系开设。华罗庚先生开设的解析数论、素数分布及ζ函数、行列式及方阵、连续群论、多元函数论等均是结合自己在这些方面所作的研究成果讲授的。许宝騄先生开设的数理统计课程,国内尚属首次系统讲授。此外,江泽涵先生开设的点集、王湘浩先生的集合论、申又枨先生的位函数论、刘晋年先生的理想集论、龙季和先生的初等几何等均是随着他们当时的研究内容开设的。

    问:联大数学系在课程设置方面是否还存在其他特点?

    徐:联大数学系总是请具有教学经验且在专业上有所成就的教师开设基础课。杨武之先生在联大数学系长期担任系主任职务,在其任期内就曾请江泽涵先生开设高等代数、申又枨先生开设高等微积分、许宝騄先生开设微分几何等。这些是联大数学系指定的任务,欧美的一些大学也是这样。一般情况下,这些教师对这些安排没有什么怨言。联大数学系的选修课基本上是由教师自报的。只要你有能力开课,有学生选修即可。

    问:联大数学系的学生是否从一年级开始选修本系专业课程?

    徐:不是。一年级学生的课程很重。除了普通微积分外,还要学普通物理、普通化学、国文、英文、体育课程等,整个学年须修满30多个学分[④]。因此,这一年时间很紧张,也没有精力选修数学专业课程。但如果学生愿意选修、旁听没有问题。

    问:在抗战前的清华,新生一入校,其所属的院系就定了。但由于从1933年开始实行大学一年级学生不分院系制度,清华各系学生在一起共同学习公共课程。清华数学系为了保证学生的质量,还特意要求学生的公共数学课程必须达到70分以上,否则在二年级时不得升入数学系。[⑤]联大时期的情况怎样?

    徐:也有这一规定。公共数学课程70分以下学工科可以,学数学不行。学生不及格,还须重修。有些聪明的学生混混也可以及格。但达不到70分,绝对不能入数学系。

    问:联大时期,国文课是理工科学生的公共必修课程,而在解放后的大学里就不是这样了。您如何看这个问题?

    徐:我觉得学一些国文是有好处的。一般情况下,高中毕业后一个人的文笔好坏就已经定了下来。大学时代为理工科学生安排了国文课,当然可以增大学生的词汇量,但最重要的是有利于学生开阔视野,拓宽思路。因而,我认为将国文课列为理工科学生的必修课程是有积极意义的。新中国成立后向苏联学习,不仅取消了理工科学生的国文课,而且教师对学生的专业课包教、包懂。这对开阔学生的视野,养成学生独立学习、工作的精神没有好处。

    问:联大时期的国文课主要包括哪些内容?

    徐:主要包括文言文与白话文撰写的文章,以及作文等。如,徐志摩的《我所知道的康桥》,胡适于五四时期撰写的反封建文章,清华散文作家林徽因的《窗子以外》,朱自清的《背影》和《荷塘月色》,还有古文《孔雀东南飞》、《木兰从军》等。我记得给我们讲作文的是李广田先生。他后来任云南大学的校长,他的课讲得很好,常引用高尔基作品中的名句。

    问:学生喜欢这门课吗?

    徐:喜欢。这门课不仅有利于拓宽学生的思路、开阔学生的视野,而且还能休息脑子。其实,国文对提高青年人的审美意识和文化素质很起作用。

    问:联大数学系在课程设置上是否也存在着一些不足?

    徐:据我的回忆,诸如,实变函数论、测度论、勒贝格积分论、函数逼近论等课程在当时的联大数学系都没有开设。我大学毕业时连勒贝格积分论是什么都不知道。联大数学系也没有开设泛函分析。这门课程是欧美20世纪30年代以后才流行起来。这说明在联大还没有反应开这门课的需要,当年惟一精通泛函分析的专家曾远荣教授已于1942年离开联大,前往成都燕京大学任教。这些是很遗憾的事情。

    3、教材及参考书

    问:从目前的研究与文献来看,联大数学系大多使用欧美的教材与参考书。[⑥]原因是什么?

    徐:联大数学系在教材和参考书选取上,尽量使用欧美一流教材的原本及国内高水平的教材。那个时候有一个特点,即大学一般重视教师搞研究而不提倡编书,只要有现成的书就不编。这与上世纪50年代后在大学教师中盛行译书、编书之风是不同的。那时只要有现成的国外一流的教材,就尽量采用。现今台湾的大学的做法与此类似。在台湾一般大学都采用外文原著,除非在特殊情况下,大学教师才可自编教材。

    问:联大数学系使用了很多欧美原版专业数学教材。教师在教学时,是使用中文,还是使用外文?

    徐:一般使用中文和英文两种语言教学,也就是现在所说的双语教学。联大数学系教授级教师大多为欧美著名大学的数学博士,精通或熟练掌握英、德、法等国文字与语言。一些教师在教学中不但全部用英文,而且用词还非常地道,其教学已经达到较高的双语教学标准。例如,刘晋年先生给我们讲复变函数论时,都是在黑板上使用英文表述,而且用词很讲究。这样学生不但在专业上得到了很好的训练,在外语水平上也得到了提高。一般情况下,教授批改作业和出题考试也都用英文,所以联大数学系学生大学毕业之后用英文写数学文章问题不大。现今一些大学开始提倡双语教学实际上已经有点晚了。

    4、数学讨论班

    问:到20世纪20年代末与30年代初,数学讨论班的教学形式才被清华、浙大等国内有限的几所重要大学数学系所采用,且仅限于极少数的几门课程。而陈省身、田方增、蓝仲雄等先生都特别提到联大数学系开设数学讨论班的情况,且不在少数[⑦]。[8]([2],190-191页)当时能够开设数学讨论班的主要原因是什么。

    徐:一个主要原因是教师力量充足。联大数学系的教师阵容,超过战前北大、清华、南开三所大学数学系中的任何一个。由于教师人力资源充足,联大数学系的一些教师就有了依据自己的认识与研究内容加开讨论班或选修课的机会。另一个原因是联大老、中、青教师们不但讲求学术民主与自由,而且有奋进向上的精神。

    问:开设数学讨论班的最显著益处是什么?

    徐:讨论班这种形式的教学对于促进教师之间,教师与学生之间的学术交流,培养研究兴趣,锻炼分析探索能力等均是有益的。

    问:当时数学讨论班的具体形式是什么?教师与学生的积极性如何?

    徐:常常以分工研读一本名著,用轮流报告的形式进行讨论班活动。师生与助教们一起参加,随时可以提问讨论。气氛往往很活跃,年青人积极性较高。

    问:数学讨论班主要讨论的是某一数学分支的新知识,或研究工作的前沿,还是教材上的知识?

    徐:主要讨论的内容往往是国际名家名著中属于前沿的系统性理论新知识。有时也介绍并讨论个别名家近期论文的新成果与新思想。一般不讨论教材上的内容。

    5、教师、风格及传统

    问:联大数学系的教师来自清华、北大、南开这三所大学的数学系,教师阵容极一时之盛。[⑧]联大数学系是如何聘任这些教师的?

    徐:这三个数学系的教师都具有双重的聘任资格,也就是说每位教师既受到联大的聘请,又受到其所在学校的内部聘请,因而当时的教师一般持有两张聘书。例如,华罗庚先生是清华的,他拿到一张联大的聘书、一张清华的聘书;江泽涵先生是北大的,他拿到一张联大的聘书、一张北大的聘书。我在联大数学系毕业后,清华留我任助教。我也拿到两张聘书,一张是联大的,一张是清华的。

    问:在联大,北大数学系、清华数学系,以及南开数学系教师的教学风格是否存在明显的不同?

    徐:我在联大学习的时候,北大、清华这两个数学系的教师,都曾教过我的课。例如,我听过北大数学系江泽涵先生开设的高等代数、申又枨先生开设的高等微积分、程毓淮先生讲授的高等几何;清华数学系华罗庚先生开设的数论和近世代数等。这些老师在授课方面,确实风格有所不同。我的总的印象是北大教师开课认真,基本上都是用心备课的。江泽涵先生与程毓淮先生就是典型的代表。清华的教师属于开放型的较多,讲课随便一些,备课差一些,但也是很有启发性的。如,华罗庚先生给我们讲近世代数的时候,有几次因为在定理推导过程中出现错误,被挂在黑板上,讲不下去。但他讲课很有风度,非常富有启发性。陈省身先生在联大教过微分几何等课程。我在联大数学系没有听过陈先生的课,但我听王寿仁先生说,陈先生讲课也有讲不下去的时候。有一次杨振宁先生在旁听陈先生的课时提了一个问题,陈先生就没有回答上来。杨武之先生讲课之前,经常会和学生闲谈3、5分钟,然后再言归正传。他闲谈的内容很广。记得有一次他在讲高等代数课程中的向量内容时,在黑板上画了几条带箭头的长短不一的同向向量,说他曾在德国访问过,看到德国人很讲齐心一致,就象一批方向一致的向量那样,指向同一方向,所以力量就大,做事往往能事半功倍,等等。南开数学系教师教学态度一贯认真,这是公认的“姜老夫子”(姜立夫先生)在上世纪30年代之前创办南开数学系后的历史传统。例如,刘晋年先生来自南开,他在教学上备课认真,讲课精细的风格,就反映了南开传统的一个方面。

    那时教师讲错了没有关系,可以重来。老师在讲课时讲些闲话,学生是不反对的。有时还能从闲话中得到些启发。从某种意义上讲,联大倡导自由讲学的学风。解放后50年代学习苏联的做法来培养学生,对教师要求与管理过死。教师讲错一点也不行,讲课时讲些闲话是不允许的,教师会受到批评。

    问:北大与清华是民国大学中对中国学术发展产生过举足轻重的影响的两所大学,但两校的传统存在显著的不同。[9]联大时期,北大数学系与清华数学系的传统有何不同?

    徐:在20世纪50年代之前,国内大学数学系以发扬欧美学术传统,仿效欧美体制为主。在宏观方面讲,在联大数学系,北大与清华这两个数学系在学习、继承欧美体制上基本一致。但从微观方面而言,每个数学系在价值取向上各有所重,各有所宗。当时的北大数学系强调打好厚实的基础,侧重教与学,而清华数学系偏重科学研究,提倡、鼓励教师发表论文。在20世纪50年代,苏步青先生曾称北大数学系为“按兵不动”,意思就是说北大数学系的教师实际有才能的很不少,但不注重发表文章。此外,在提拔年青人上,清华较放手,北大则略为保守。到复校时期,虽然时局不稳,环境艰苦,清华还是比较注重研究,当时正是因为我的研究成果略多,职级晋升就较快,没有三年就升为专任教员(相当于讲师)了。北大数学系的孙树本老先生,虽数学根基厚实,但多少年都没有被提升。从某种程度上讲,北大有些保守,受传统影响较大,相比之下,清华对西方文化吸收得更好一些。

    问:陈省身和田方增等先生都谈到联大数学系的教师虽然来自不同的大学,但三校教师之间都能精诚合作。[10,11]您能否谈谈其中的原因?

    徐:我认为数学三老——姜立夫先生、杨武之先生、江泽涵先生素以育才事业为重的人格感召力量,是促成精诚合作的根本原因。又,三校图书资料的共享共用,一些讨论班的合办共建,以及教课任务方面的相互支持,是助长合作的主要因素。此外,抗日战争年代,大家都有共赴困难之心,也是一个潜在因素。

    6、学生管理与研究生培养

    问:在学生管理上,联大数学系的显著特点是什么?

    徐:联大数学系给学生留出了较大的自由发展的空间。这是联大数学系在学生管理上的一个显著特点,其他学系也基本如此。当时学生不但听课自由,旁听自由,而且转系亦十分自由。例如,钟开莱先生原是清华物理系的。吴有训先生为联大理学院院长,曾在物理系开设光学课程。钟先生听了几次以后,觉得吴先生讲的内容书本上基本都有,自己在课下看书即可,于是就不听了。当时听课的学生只有十来个人。吴先生认识每一个学生,很快就发现钟开莱缺席,很不高兴。后来钟开莱怕在物理系日子不好过,就转到了数学系。王宪钟先生、严志达先生在联大也是在清华物理系,后来转到数学系的。抗战以前清华物理系很有名。当时很多优秀学生都愿意考清华物理系。他们觉得物理更有应用价值,数学太空。因不同的原因转到数学系的钟开莱、王宪钟、严志达三位先生,后来都成为著名的数学家。实际上,抗战之前清华大学就实行招收转学生制度。如,清华数学系的施祥林、许宝騄、庄圻泰、柯召、田方增等都是转学生。施祥林是从东南大学转学来的,柯召、许宝騄等分别是厦门大学和燕京大学的转学生。庄圻泰与田方增是由清华大学工程系转入的。我想,实施这项制度的意义不仅给学生留出了一个自由发展的空间,而且对于提高生源质量很有好处。因为这些转学生的学习成绩一般都很优秀。如,施祥林考入清华大学时总分第七,数学满分。再如,钟开莱是他那一届的理科状元。在某种程度上讲,他们中许多人学习数学的潜力超过直接考入数学系的学生。他们到数学系以后,一般情况下学习成绩也会很快赶上其他同学。这样其他学生就会有被淘汰的紧迫感,因而在学习上会更加抓紧。

    问:您能否谈谈联大数学系的研究生培养工作?

    徐:联大数学系在研究生培养上没有正规的体制。研究生毕业只是写一篇论文,但没有论文答辩,也不授予学位。当时联大数学系的研究生很少,只是个别教授有一、二个研究生。如,孙树本跟江泽涵先生做研究生;钟开莱先跟华罗庚先生做研究生,后来转到许宝騄先生门下;彭慧云跟华罗庚先生做研究生;王寿仁跟许宝騄先生做研究生;孙本旺跟姜立夫先生做研究生;严志达和王宪忠跟陈省身先生做研究生。当时社会上对研究生比本科生看重得多。值得指出的是,联大数学系十分提倡教师与研究生合作进行研究。如严志达听陈省身先生的微分几何课时,发现了一个问题。后来,他与陈先生合作了论文《n维空间主运动式》(Sulla Formula Principale Cinematica Dello Spazio ad Dimensioni),发表在《意大利数学联合会会刊》(Bollettino della Unione Mathematica Italiana)上。[12]这一做法不仅可使学生学到课本中没有的知识,而且也能提高学生的科研水平。

    问:联大数学系研究生的主要研究方向有哪些?

    徐:据我所闻,联大数学系研究生的主要研究方向有黎曼几何与连续群论(李群),学生有严志达、王宪钟;解析数论与概率统计,学生有钟开莱、彭慧云;高等统计,学生有王寿仁;形势几何(拓扑),学生有孙树本等。

    问:联大数学系怎样为研究生开课?

    徐:由于研究生人数太少,基本上不专门开课,是由导师指定文献资料,让研究生独自钻研,有问题时找导师讨论。

    问:这些课程处于怎样的程度?是否达到了欧美大学研究生的水平?

    徐:据我所知,当年联大数学系让研究生钻研的文献资料或者名家专著,大都是处于研究前沿,或接近前沿的题材,所以我相信这与欧美培养一般博士研究生所要求的程度水平是相似的。事实上,他们后来也都完成了论文写作,并发表了符合导师要求的研究成果。

    7、几点体会

    问:您认为联大数学系教育工作中最值得借鉴之处有哪些?

    徐:第一,联大数学系尊重学生的志趣发展与自我发现的价值。前面提到,转系自由,数学系不但欢迎有志学生从外系转进来,而且对优秀学生发现志趣变更后也可以转出去。例如,王浩在联大数学系是优秀学生,学了两年数学后,感觉对数理逻辑更感兴趣,立志要成逻辑学家,便转到有逻辑学家金岳霖先生的哲学系去了。后来王浩旅美多年,果然成为国际有名的数理逻辑专家了。事实上,人的兴趣和潜在才能是需要自我发现的,有了“自我发现”,又有了受尊重和发展的环境与条件,那就会很顺利成才了。第二,联大有自由讲学的风气,鼓励学生们自由听讲,参加讨论班、讲演会。这对学生们的志趣成长和发展构成了有利条件。第三,联大数学系一贯提倡并鼓励学生看名家著作,直接面向原著。例如,曾远荣教授讲授微积分课后,鼓励学生去看哈代(Godfrey Harold Hardy, 1877-1947)的名著《纯粹数学》(Pure Mathematics), 讲代数课的教授一致推荐学生们去看范德瓦尔登的《近世代数》。还有华罗庚先生搞讨论班时要我们钻研外尔(Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955)的著作《典型群论》(Classical Groups)等名著。这些是联大数学系的一贯作风和培育青年学子的一些重要方法。

    致 谢:徐利治教授虽然已是耄耋老人且仍担负一些公务,但不辞劳苦,除接受访问外,还3次与访问者通信。刘钝研究员与郭书春研究员提供了热情的帮助,张藜博士对访谈提纲提出了宝贵的修改意见。在此谨表谢忱!

    参考文献:

    [1] 杨武之.国立西南联合大学数学系概况[J].教学与教材研究.1999,(1):32-36.

    [2] 西南联合大学北京校友会.国立西南联合大学校史——一九三七至一九四六年的北大、清华、南开[M].北京:北京大学出版社,1996.183-197.

    [3] 清华大学校史组.清华大学校史稿[M].北京:中华书局,1981.340-342.

    [4] Israel J. Lianda: A Chinese University in War and Revolution [M]. Stanford: Stanford University Press, 1998.

    [5] Yuan Tung-li. Bibliography of Chinese Mathematics [M]. Washington: District of Columbia. 1963. 46.

    [6] 隋允康,王青建.徐利治[A].中国科学技术协会.中国科学技术专家传略·理学编·数学卷1[Z].石家庄:河北教育出版社,1996. 422-435.

    [7] 北京大学,清华大学,南开大学,云南师范大学. 国立西南联合大学史料[Z].卷3.昆明:云南教育出版社,1998.113-415.

    [8] 陈省身.联大六年(1937-1943). 张奠宙,王善平.陈省身文集[Z].上海:华东师范大学出版社,2002.8.

    [9] 徐晋如.清华第一,北大第二[M]. 北京:台海出版社,2003.

    [10] 陈省身.回忆杨武之[A].张奠宙,王善平.陈省身文集[Z].上海:华东师范大学出版社,2002.84.

    [11] 田方增.向江师致敬并继续学习[A].江泽涵先生纪念文集编委会.数学泰斗 世代宗师[Z].北京:北京大学出版社,1998.366-367.

    [12] Chern Shiing-shen, yen Chih-ta. Sulla Formula Principale Cinematica Dello Spazio ad Dimensioni [J]. Bollettino della Unione Mathematica Italiana, 1940, (2): 434-437.

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