• “另眼相看”则“别有洞天”—— 对一道中考几何探究题的持续思考
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    江苏省连云港市新海实验中学(222004)   宋彦波

    众所周知,问题是唤起思维的起点.而数学问题产生的载体之一就是解题,解题固然不是数学活动的全部内涵,但是它是学会解题和学习数学必不可少的途径:一个有价值的数学问题不仅能够激活人的思维,调动人的情感,而且更能够激发出人的潜能、灵感和创造欲望,同时还让人感受到数学之美、享受创造的乐趣.本文结合2009年河北省中考的一道几何题来谈一谈解题和数学教学方面的思考.

    一、试题与解答

    题目  2009年河北卷第24在图1-1至图1-3中,点是线段的中点,点是线段的中点.四边形都是正方形.的中点是

    1)如图1-1,点的延长线上,点与点重合时,点与点重合,

    求证:=

    2)将1-1中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图1-2

    求证:是等腰直角三角形

    3)将1-2中的缩短到图1-3的情况,还是

    等腰直角三角形吗?(不必说明理由)

    证明1四边形都是正方形,

    与点重合,点与点重合,

     = = = =

    =∠ = 90?/SPAN>

    ∴△ ≌ △

    =

    ∵∠=∠= 45?/SPAN>∴∠= 90?/SPAN>

    2)连接,如图1-2,设交于点

    分别是的中点,

    四边形是平行四边形.

     =∠

    ∵∠FBP =∠HDC ∴∠FBM =∠MDH

    ∴△ ≌ △

    =

     =∠ 

    ∴△是等腰直角三角形.

    3)是.

    二、对试题思考

    由于解题研究和解题教学是密切相关而又有不同价值取向的两个问题,解题研究无禁区,解题教学有范围,所以对教师而言就需要对问题进行深入的、广泛的研究,以求得对问题本质的认识,这样才能根据《数学课程标准》的要求和学生实际把一些解题方法有选择实施于我们的数学课堂,使其课堂效益最大化。

    21  第(3)问的几种证明方法

    证法一 (从特殊到一般,类比问题(2)的证法,利用中位线定理,证明两个三角形全等)

    如图2,连接,如图,设交于点

    分别是的中点,

    四边形是平行四边形.

     =∠ =∠

    ∵∠FBP =∠HDC ∴∠FBM =∠MDH

    ∴△ ≌ △

    =

     =∠ 

    ∴△是等腰直角三角形.

    证法二  (借助中点,再次利用中位线定理,证明两个三角形全等)

    如图3 连结AFFCCHHE,并延长线段AFP,使PF=AF

    延长线段EHQ,使QH=EH,连结线段PEAQ

          连结PCQC,容易证明PGC三点共线,QNC三点共线

          根据题意,得:

         

         

         

         

         再根据中位线定理,

         .从而结论得证.

     

    证法三  (借助中点,倍长中线,实际上是利用旋转变换和直角三角形的性质解决问题)

    如图4,延长HMQ,使QM=HM.连结AQHEHCFAFC

    由题意可知:都是等腰直角三角形.

    易证

            

            

            

              

        

      

     

       

        是等腰直角三角形.故也是等腰直角三角形.

        说明:类似的,也可倍长线段FM,方法同证法三.

    证法四  (利用结论也是信息,再构造全等三角形,结合等腰直角三角形的性质解决问题)

     如图5,取线段FH的中点O,连结线段MOAFFOOHHE

    过点ACE分别作APFHCTFHEQFH,垂足分别为点PTQ

         由题意知道:都是等腰直角三角形.

         易证

        

        

         O是线段PH的中点,

    MO是梯形APQE的中位线.

        

         MOFH,且MO=FO=HO

         FMH是等腰直角三角形.

    证法五 (再一次利用中点,构造相似三角形)

    如图6,连结AFFCCHHEAH,取线段FHAH

    的中点OP,连结线段OPPM

        由题意知道:都是等腰直角三角形.

    根据三角形中位线定理可以得到:

       

       

      FMH是等腰直角三角形.

    2.2 

    思考1  仔细分析上面解题的过程我们可以看出,第(2)、(3)两问要解决的问题——是等腰直角三角形,这个问题的成立完全依赖于等腰直角三角形.事实上,正方形只是个有效的载体,只是在证法一体现的较为突出,学生也很容易理解.现在我们思考的问题是:满足什么条件时,或者呢?是因为这样的思考会使问题更加一般化,更有利于把握住问题的本质.我们来看下面的两个问题:

    1)如图7,在等腰中,,在等腰中,,且

    M是线段的中点.则

    说明:根据图中添加的辅助线容易证明

    所以,又因为,故

    证得,而且容易得出

    显然,当时(即三角形均为等腰直角三角形),

    ,且.读者也可以查阅2008年北京市中考数学试题最后一题来进行对照思考.

    2)如图8,在RtRt中, ,且,点M

    线段的中点.则

    说明:这个问题证明和上面的问题类似,读者也可以自己进行探究,

    同时可以得出.显然,当

    时(即三角形均为等腰直角三角形),

    读者可以结合2009年山东省中考数学试题的最后一题来作进一步

    的探讨和延伸.

    思考2  通过上面对问题的探讨可以看出,这道中考题的实质是一个三角形中的一个顶点固定(如点C),而另外两顶点不固定,然后以定点和动点所形成的边为长度向外做等腰直角三角形。那么,反过来如果三角形中定、动点互换,其他条件不变,又会产生什么样的结果呢?对此,这里引出一个非常有趣的数学故事,故事的大概是这样的:

    从前有一个国王,想把王位传给两个儿子中的一位,为了能考察他们的能力和品德,他对两个儿子讲:三天后你们把埋藏在荒岛中的宝剑找回来,并告诉他们寻找的路径:岛上有一口枯井和两棵大树,从枯井笔直地走到第一棵树下,向左转,走同样的步数,停下来做上标记;然后回到枯井,在笔直地走到第二棵树下,向右转,走同样的步数,停下来做上标记,宝剑就埋在这两个标记正中。

    老大为了抢先,次日悄悄跑到荒岛,两棵大树豁然可见,可找遍荒岛毫无枯井的痕迹,结果,老大颓然失望,扫兴而归。

    小弟遵嘱,第三天约胞兄启程,哥哥称病不去,弟弟当然在荒岛上也找不到枯井。无奈之下,借着以某处为假设的枯井,几次尝试,得到的是同一中点,诚实而又勤于动脑的弟弟终于悟出了宝剑与枯井的位置无关。

    如图9,若是两棵大树,假设点C是枯井,以CFCH为边(腰)向左、右两边作等腰直角,连结AE,根据前面的证明可以知道,是等腰直角三角形,则AE的中点M就是定点(因为,FH是定线段,宝剑的位置是关于FH对称的两点,读者可以自己证明)。

    从上面的故事和前面的证明我们可以体会到,当点C

    定点时,等腰直角三角形的大小会发生变化,

    FH的距离也会发生变化,但是是等腰直角三角形不

    会变化,变的也只是它的大小;若点FH为定点时,FH

    定长,虽然等腰直角三角形大小在变化,但

    是等腰直角的大小和形状不会发生变化,则点M就是

    个定点.这也验证了前面已经说过的话:问题的成立完全依赖

    等腰直角三角形

    2.3  仔细研究过河北省近几年来中考数学试卷的读者就可以发现,本题秉承了河北省中考几何命题的一贯风格,试题源于课本而高于课本,稳定与创新并重,图形简洁明了而且由静到动,设问由易到难,层层深入,对学生合情推理和演绎推理能力考查与《课程标准》要求相吻合,是一道以人为本的叫好又叫座优秀试题.

    2.4 《课程标准》关于图形与几何这一部分的教学是要求教师应帮助学生建立空间观念,注重培养学生的几何直观推理能力.而书面评价学生空间观念、几何直观和推理能力的达成度如何,就需要一道既能与学生的生理和心理年龄相匹配、又能对日常教学产生良好导向以及与教学实际紧密结合的好题.而这道以正方形为背景的试题,恰恰能够把以上几个方面体现出来:(1)(2)(3)连续三个小问的难度拾阶而上,坡度自然,蕴含着从特殊到一般、从简单到复杂、从具体到抽象的命题思想,也符合以人为本以及不同人在数学上有不同的发展的命题理念.而从解题的实践的层面上看,学生为了解决问题就会自觉主动的调动自身数学学习活动经验:观察、猜想、操作、实验乃至推理,在这个数学思维的过程中,学生处理问题所用的化归、类比、建模的等数学思想方法也会交织在整个思维过程之中,甚至学生的解题情感也得到了升华,而通过演绎推理呈现出的结果就能够很好的考查学生对图形与几何的掌握程度.试题第(3)小问是前面问题的一般化,虽然没有要求证明,但是对学生的合情推理能力提出了较高的要求,也为有兴趣的学习者埋下问题的种子,这个学习者是学生,也是教师.如果是教师,能够对试题“另眼相看”,对命题者的意图和切入点,问题解决的方法以及解题思维过程进行全面、持续、深入的思考,那么就能使自己对问题的把握有登高望远,别有洞天的意境,进而优化和提升了自身的专业素养。反之的话,如果作为教师仅仅把会作为标准,把做作为目标,那么就会进宝山而空返。这是因为教师只有高屋建瓴的把握了解决问题的规律性的东西、解决问题的思维流程和调控、解决问题的技能和运用,才有可能并有选择的实施于日常的教学中,才更有利于帮助学生提高他的元认知水平,从而使个体思维更自觉、更深刻、更灵活.

     

    《中学数学教学参考》2010年第5

     

     

     

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