• 构建生动有趣、简单易懂的数学学习环境
  •           2010-7-24     浏览()     【
  • 注:本文发表在《中国数学教育》07年第10

    构建生动有趣、简单易懂的数学学习环境

    ——谈《圆锥曲线》概念的单元教学设计

    董林伟

    江苏省教育科学研究院课程教材研究中心

    1.问题的提出

    多年来高中数学教材与数学课堂教学改革,人们一直在寻求一种或更多有效的使学生获得圆锥曲线概念的途径与方法:

    《全日制普通高级中学教科书(必修)》(人民教育出版社出版的200461第一版)中,首先在章头图中给出了平面截圆锥所得截面图,并在章头语中用文字介绍了海尔?波普彗星以及其他星体的运行轨道,让学生通过阅读了解圆锥曲线在我们生活中的客观存在。通过示范性的画图(用一根绳子的两端固定在平面上的两个顶点,画一个椭圆),让学生通过观察得出椭圆的定义;用“和”与“差”的置换提出问题,并通过画图直观感受满足条件的点的轨迹的几何特征来引入双曲线;抛物线的引入则是通过对椭圆、双曲线的离心率的研究提出来,再用画图的方式感受其几何特征。应该说,这样的设计体现了一定的数学探究的过程以及三者之间的内在联系。然而,过于直观的“抛出”,缺少了学生对“形”的体验过程和对数学的“发现”过程,分散的探究也影响了学生对圆锥曲线整体的认识。

    《普通高中课程标准实验教科书(选修1-1)》(江苏教育出版社出版的200561第一版)中,教材的编写者试图改善以上的缺憾,首先通过对圆锥截面的直观感受与理性研究,希望学生对圆锥曲线有个整体的认识(整体给出圆锥曲线的概念)。然而,从对椭圆的“证明”过程来看,难度太大(怎么想到的?),而且椭圆“焦点”实际上也是通过教材“抛”给学生的(一个封闭的图形怎么会与这样的两个点有关?这两点有是怎么找到的?);而双曲线、抛物线的概念更是直接“告诉”了学生(如果再用证明的方法,过程更加繁杂!因此教材也就自然将这些内容“滑过去”了!),没有能够真正的实现原有课程设计的目标。

    数学教学设计是教师为将要进行的数学教学勾画的图景,是为学生进行数学活动创设的学习情境,其基本目的是帮助学生(个体)进行有效的数学学习。数学教学设计是一个系统性活动,尽管任何形式的数学教学活动都可能使学生得到发展,但系统的设计会使每一个学生都有最充分地运用自己的潜能去获得发展的机会,从而极大地影响其数学学习的效果。传统的圆锥曲线的概念教学设计,通常是以机械画法引入这一内容的,也有的教师先讲海尔波普?彗星等运动轨迹等的天体现象,或者拿出一个圆锥模型让学生观察截面的形状,再由机械画法引出定义以及焦点的概念。这样的教学是教师直接地、生硬地把概念给了学生.尤其是焦点,更象是从天而降;而焦点之所以为焦点,学生却是不明所以,更不知其内在的规律和联系的必然性。

    适当地引起学习动机是一件很重要的事。除了极少数天生就喜爱数学的同学之外,大多数的同学都需要经由适当的教学技巧与方法来引起他们学习数学的兴趣。动手做,使被动成为主动更有益于了解问题的真谛。中国有一句古谚:「我听……而后就忘,我看……而后我记得,我做……而后我理解」,更明确指出学习科学动手做的重要性 。抽象的数学观念,不容易引起学生的学习兴趣,因此,在学习过程中,若能适度加入一些活动,从观察、实验、操作的活动过程中感受数学、发现数学、认识数学,那么学生会认为数学可以既有趣好玩,又简单易懂。

    因此,我们通过了课堂教学的几经实践,设计了一系列的活动,让学生从观察与动手、动脑的过程中,感知、了解和发现圆锥曲线,并学会自己给出圆锥曲线的概念。用实验展现了一些建构圆锥曲线的简单方法,让学生在有趣且具价值的活动中,体会学习数学的乐趣、方法和数学的应用价值。

    2.教学过程设计

    2.1   观察操作——直观感知

    观察是学生了解事物、引发思考的最基础的数学学习活动。

    观察右图,从中你看到了什么图形?

    由于学生在这之前已经有了学习圆的经历,因此学生一般会发现其中

    与圆以及生活等有关的一些结论,如“好象两个点波”、“两个同心圆系”、

    “同一圆系中的相邻两个圆之间的距离相等”、“不同圆系中的两个圆有的相离,有的相交,也有的相切” ……

    善于观察的学生会“发现图形中隐藏着许多曲线”……

    可以设计以下游戏活动,让更多的学生“观察”到其中“隐藏着的许多曲线”。

    第一步:如右图中(1)的方法,选择一个曲边菱形区域,将其涂黑;

    第二步:选择已经涂黑的曲边菱形区域的一组对顶曲边菱形区域,

    将其涂黑;

    重复第二步骤(注意选取对顶区域的方向一致),进行下一步操作……

    你发现了什么?

    不管是从哪个曲边菱形区域开始,最终得到的图形可以归结为两类:

    如果选择左右型两侧对顶区域,生成的图形如下图1

    如果选择上下型两侧对顶区域,生成的图形如下图2

     

               
     

    1

     

    2

     

    3

     
     

     


     

     

          

     

     

    如果考虑图形的对称性,图2中形成的曲线存在左右对成的一对,可以补充成图3

    借助于投影,交流学生的作品,初步形成椭圆和双曲线的几何直观感受。

    2.2   数学思考——形成概念

        在直观感受的基础上,可以引导学生进行进一步的数学理性思考:

    2.2.1  如果将图1中涂黑区域的公共顶点连接成一条光滑的曲线,那么这条曲线上的点具有怎样的特征呢?

    探索图1中形成的椭圆型曲线上的点的特征

    4

     

     
     

     

     

     


    如图4,如果规定最小的圆的半径为1,那么

       OP1=16OP2=15OP3=14,……

       O/P1=8O/P2=9O/P3=10,……

    因此,OP1+ O/P1=24OP2+ O/P2=24OP3+ O/P3=24,……

              即对所有的点P,有OP+ O/P=24

    3

    对不同学生得到这类图形上的点P进行交流,发现共同结论:OP+ O/P=定值。由此可以引导学生给椭圆下定义:平面上到两个定点的距离和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点。

     

    2.2.2   用类似的方法探索双曲线的定义:

    类似椭圆,观察图3中图形上的点P,探索这些点的

    形成过程,并进行交流。

    不难发现:│OP O/P│=定值。

       由此引导学生给出双曲线的定义:平面上到两个定点的距离差的绝对值为定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点。

     

    2.2.3   有了对椭圆和双曲线的探索经验,对最初的活动内容作适当的改造,可以生成新的问题情境:将两个同心圆系改为一个同心圆系与一个直线系(如图),你有什么发现?

    据此,可以用类似于椭圆、双曲线的方法,去感知、发现抛物线,并给出抛物线的定义。

           
       

    5

     

     

     

     

     

     

     

     


    在进行图形观察与分析时,学生会发现曲线上的点到圆心O的距离与它到某一条直线的距离的差为定值。(这是一个重要的发现:抛物线更为一般意义的定义!)

    调整直线的选择,使曲线上的点到圆心O的距离与它到该直线L的“距离差”为0。从而给出抛物线的定义:平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。

        

    2.3     折纸活动——深化认识

    2.3.1  用一个圆及圆内一点的折痕包络出椭圆
       
    如下图(1),点F是定圆O内不同于圆心O的一定点,按照下图(2)的方式,重复将圆的一部分折叠,使折叠部分的圆周经过圆内的定点F,直到能明显看出椭圆的轮廓为止(如下图(3))﹒折痕愈多,曲线就愈平滑﹒

           
       

     

     

     

     

     

     

     

     


    思考:你能证明轮廓线(直线包络)是椭圆吗?

     

     

           
     

     

     


          

     

     

     

     

     

          如图4,圆周上一点Q沿直线l(折痕)对折与F点重合,如果直线OQ与直线l交点为P ,那么 OP+PF=圆的半径(定值)。

          然而,对于直线L上的其他任意一点P/,根据图5可以知道,0P/+FP/=OP/+QP/?OQ 因此,由折痕上的点P(到OF的距离和最小)构成的包络曲线上的点满足椭圆的定义要求,且点OF就是该椭圆的两个焦点。

    说明:将圆内一点与圆周上的任一点重迭折合﹒这些折痕构成椭圆的一系列切线﹒

     

    2.3.2  用一个圆及圆外一点的折痕包络出双曲线

    重复将圆外的定点与圆周上任一点重迭折合,直到能明显看出双曲线的轮廓为止﹒折痕愈多,曲线就愈平滑﹒

     

     
     

     

     

     

     

     

     


    思考:你会用椭圆类似的方法证明所得包络曲线是双曲线吗?

     

    2.3.3  用一直线及线外一点的折痕包络出拋物线

    重复将定点与直线上的任一点重迭折合,直到能明显看出拋物线的轮廓为止。折痕愈多,曲线就愈平滑。(将线外一点与直线上的任一点重迭折合﹒这些折痕构成拋物线的一系列切线)

           
       

     

     

     

     

     

     

     


    思考:证明你的结论。

     

     

     

    2.4     活动反思——创新思维

     
     

      

     

     

     

     


    通过折纸活动,我们知道椭圆与双物线可以有一个定点和一个定圆产生。观察上图,结合抛物线的定义,你能给出椭圆与双曲线的另一种定义方式?

    如果我们把一点与某曲线上任意一点的距离的最小值称做曲线外一点到该曲线的距离,那么,我们就可以用另一种方式给出圆锥曲线定义的统一形式:到一定圆(或定直线)和到一定点(不在该圆或直线上)距离相等的点的轨迹是圆锥曲线。当定点在定圆内部时,轨迹是椭圆;当定点在定圆外部时,轨迹是双曲线的一支;定圆改为定直线时,轨迹是抛物线。

    3. 教学设计的实施建议

    3.1    关于学生活动的组织

    本单元可以设计成一个活动性课程,可以根据学生的情况分成2-3课时完成。在组织教学前,教师应准备好必要的教学材料和设备,如每人一张的供学生观察的图片纸、投影仪(最好是实物投影仪,可以及时展示学生作品)等。

    3.2   适当使用信息技术

    利用信息技术,可以展示图形的形成过程,增加动感与整体感。如用电脑演示不同时生成后,以相等速度扩大的点波的交点轨迹(双曲线)、以相等速度一个扩大一个缩小的点波的交点轨迹(椭圆)、以相等速度生成平行波与点波交点的轨迹(抛物线)。

    3.3   关注学生思维能力的发展(动手与动脑的结合、学生创新思维的培养)

    本单元设计的观察、动手操作等实践活动,主要是激发学生的学习兴趣,增强图形的直观体验,从而引发学生思考,在理性思考中抽象数学概念,体验成功的喜悦,因此而热爱数学,会用数学的眼光观察身边的现象,形成用数学的意识。

    因此,教学时可以采取小组合作的学习方式,要密切关注学生在观察、操作等活动过程中的思维活动(而不是简单、浅表性的实践操作),及时捕捉学生创造性思维的火花,适时引导,让学生学会科学的学习方法与研究问题的方法,培养学生良好的思维品质。

    3.4     还可以结合以上内容,设计一些探究性问题或动手实践操作性问题,将课堂教学得以延伸.如可以设计以下探索:

    与两个圆都相切的动圆的圆心的轨迹;

    与一个圆和一条直线都相切的动圆的圆心的轨迹;

    也可以布置制作圆锥截痕模型等实践活动。希望学生通过动手做圆锥截痕的活动,让学生对圆锥曲线有更深入的了解,因而对数学产生更浓厚的兴趣。

    参考文献:

    1.《全日制普通高级中学教科书(必修)》  人民教育出版社

    2.《普通高中课程标准实验教科书》    江苏教育出版社

    3.《设计合理的数学教学》  马复   高等教育出版社

    4.《圆的兄弟》 黑田孝郎   大日本图书

    5建构交互式学习环境实务之研究》  颜贻隆  台湾新竹实验中学

     

        源文件下载:董林伟 2007构建生动有趣 简单易懂的数学学习环境.doc

  • 返回顶部】 【关闭】 【打印
  相关文章
  • 暂无相关文章
  • 网友评论
  • 登录 现在有条评论 查看全部评论
  • 标题:
  • 内容:
  • 验证码: