• 倾听学生的思考:例谈运算能力及其培养途径
  •           2010-7-24     浏览()     【
  • 董林伟

    运算能力是数学的三大基本能力之一,我国基础教育数学课程一直将运算作为其主要内容,中小学数学教育也一直重视培养学生的运算能力,并取得了许多成绩和宝贵经验。但是学生的运算能力差的问题却依然存在,造成的原因是多方面的,有人怪罪于计算器的普及使用,有人认为是因为考试对计算的过高要求,有人认为目前中学数学教学仍存在着问题……

    教学过程中,由于一些教师对运算能力的理解不太准确,将其仅仅等同于运算技能,往往将注意力集中在对运算法则的记忆、运算过程的技巧训练上,并常常以自己的“经验”进行传授和模仿,只追求学生算得又快又对而缺少对运算意义的了解以及对算理算法的理解和掌握。本文拟通过学生运算中存在的一些问题的分析,结合运算能力的特点以及在数学教学中如何提高学生的运算能力等进行一些探讨,以引起各位数学教育工作者关注与思考。

    一、运算出错是因为“粗心”吗?

    “怎么老是那么粗心?”“做了这么多遍,怎么还是算错?”,这样的话我们经常听到。当学生出现那些“简单的”、“熟悉”甚至“低级”的错误 ,如果教师简单地归结为学生的“不认真”、“马虎”、“粗心”等,而不好好了解、分析学生产生这些错误的思维过程,光靠日复一日、年复一年的技能训练,学生的运算能力是难以得到提高的。

    1、2+a﹥2为什么错了?

    初学代数时,一些学生总认为 2+a 比2大。在这个问题弄清楚后,你再问他“2+a与a哪个大”,他想“再不要上当了,还是分a为正负零来回答吧!”如果教师对这种错误的原因不加以分析,对学生的认识过程不作科学的了解,类似的错误仍然会继续发生。如“a的平方一定比a大”、“一个正数开方后一定变小了”等。

    出现这种错误的一个方面原因是学生对“+”的理解问题。认为“+”就是“增加”,“增加”了,于是变大了。这样的“定势”在刚进入初中的学生来说会经常出现。从本质意义上说,这种错误的根源是对运算的意义理解不够。

    另一方面是学生对“字母表示数”的概念理解不到位。进入初中阶段,由于数的范围已经扩充到了负数,这里的字母a既可以是正数,也可以表示一个负数。《标准》提出,“在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义”。由于现实情境中的数量一般是正数,仅仅通过的一些实例难以突破这种思维的定势。

    2、为什么(-3)×(-4)=9?

    在学习有理数的乘法运算“负负得正”时,一位学生通过计算,得到(-3)×(-4)=9的结论。这个结果显然是错误的,教师不假思索就否定了这个学生的结果,并批评这个学生计算不用心。这个结果真的是因为学生不用心吗?课后与这位同学进行了交流,他说:根据乘法法则,-3乘以-4就是按照数轴的反方向的反方向,以3为单位,数4个单位。你看,我从数轴的-3这个位置开始,向正方向数,不是正好数到+9的位置吗?

    学生说的是有道理的,这是利用数轴解释有理数乘法运算引起的问题:在解释加法运算时,是从数值所在位置开始的。但在解释乘法运算时,为什么就必须从0的位置开始呢?如果从0的位置开始、与数值所在的具体位置无关,那么用数轴解释还有什么意义呢?

    这个学生的想法是合理的,是非常好的。教师可以通过举例引导学生自我发现问题所在:按照你的观点,(+3)×(+3)会等于几呢?

    (-3)×(-4)=9并没有全错,至少结果的符号判断是对的,只是该学生对利用数轴判断时的理解上出现了一点偏差。

    当学生出现运算错误时,有时候教师是需要听一听学生是如何思考的,了解学生运算出现的过程和原因有助于帮助学生认识并及时纠正错误,才能有效促进和提高学生的运算能力。

    3、检验了怎么还错?

    一位初三学生拿了一份刚做好的试卷(作业)来找我,希望我面批一下。我浏览了一下,发现该生在解一元一次方程、一元一次方程组、一元二次方程和分式方程都出现了不同程度的错误。

    为了了解出错的原因,我先问他:“你是怎么解一元一次方程(组)的?” “解一元一次方程先去分母、去括号,再移项、合并同类项,最后将未知数的系数化为1;解一元一次方程组可以用代入法或加减法消元转化为一元一次方程等等。” 从流利地回答中可以看出,他对解一元一次方程的方法和一般过程是清楚的。问题是出在使用运算性质的求解的过程、包括运算过程的一些习惯方面,如去括号时的符号问题,去分母时每一项都必须考虑等。

    然后我指出了错误的题号,并提醒“这几题我一看就知道答案是错误的。”受我的提示,他通过代入检验的方式很快就知道结果是不对的。但他却很惊奇地问我:难道解一元一次方程(组)还要检验?不是只有解分式方程时才需要检验吗?

    我没有直接回答这个问题,提出请他在检查一下做错的一道解分式方程的试题。检验了几遍,仍觉得没错,因为“将结果代入分母,分母的值不等于0”。

    问题出在我们的教学。因为几乎所有的学生都从老师那里得到的解分式方程进行检验的“秘笈”:只要将结果代入分母,分母的值不等于0就可以检验所求得的结果是否是增根了。

    检验并不只是解分式方程必须的一个过程,虽然在解一元一次方程(组)的最后不需要用文字的形式表示这种过程,但这种检验常常能帮助我们迅速判断结果的真伪。分式方程的检验也不能简单地只看分母的值是否为0,还应该看结果能否满足原方程,用以发现过程是否有错误。这些暴露了我们在教学过程中,只关注一些“技巧”往往会使得学生的思维僵化。

    经常算错,是运算能力差的而已中表现,只求细心还不够,还要提高其验算能力并养成良好的习惯和方法。教学过程中,教师应该指导学生正确地进行验算,培养学生自我检查的习惯,形成对自己工作的责任感,从而有根据地深信自己工作的正确性。

    二、运算能力的特点及其培养途径

    运算能力是一个综合性的能力。它与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力、以及空间想象等其他认识能力相互渗透、相互支撑着的:学生不能熟记各种数据和公式,就无法正确、迅速地进行各种运算;如果对概念的理解不透彻,或根本不理解,运算必然会陷入盲目性;学生不善推理,就无法选取合理的运算方法,甚至对不合理的运算结果也必然觉察不出;估计能力与空间想象能力常常能帮助学生预测结果,从而也容易纠正不正确的运算结果……

    运算能力具有一定的层次性。在数学发展史上,不同类别的运算是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级逐步形成和发展起来的。因此对运算的认识和掌握也必须是逐步有序的、有层次的,不掌握有理数的计算,就不可能掌握实数的计算;不掌握整式的计算,也就不可能掌握分式的计算。不掌握有限运算,就不可能掌握无限计算。没有具体运算的基础,抽象运算就难以实现。由此可见,运算能力是随着知识面的逐步加宽、内容的不断深化、抽象程序的不断提高而逐步发展的。对于中学数学运算能力的要求大致以下几个层次:①计算的准确性——基本要求②计算的合理、简捷、迅速——较高要求③计算的技巧性、灵活性——高标准要求。运算技能上升到能力的层次,就能把运算的技巧与发展思维融合在一起。

    运算能力的上述两个特点说明,在实际教学中既不能让学生的运算能力提留在已有水平上,也不能超越知识内容和其他能力的水平孤立地发展运算能力。

    1、经历过程,理解运算的意义

    《标准》降低了对有理数运算的要求,降低了式的运算和变形的难度和技巧,并不代表现在不需要重视学生运算能力的培养,而是结合时代特点对运算的内涵及其重点进行必要的调整。从基础教育的目标要求来看,重要的不再是计算的熟练程度和技巧,而是对运算意义的理解。

    传统的代数课程,给人的印象是公式多。单就乘法公式就有六、七个,如果考虑那些变形,那就更多了。而现在《标准》只要求两个:平方差公式和完全平方公式。但对其理解的要求更高了:会推导乘法公式,了解公式的几何背景,并能进行简单计算。在教学中。通过学生自己的发现过程,可以体会到数与代数中公式的这一本质。而且如果真的碰到(a+b)3的话,也会用类似的方法计算或推导出新的公式。因此最主要的还是对“公式”本身的意义和作用的理解,体会公式的发现和推导过程,懂得怎么应用公式,而不在公式的多少。

    2、讲究策略,优化运算的过程

    运算过程可以理解为是根据运算定义及其性质从已知的运算对象推导出结果的过程,因此,运算过程的实质是一种推理过程。

    例如,1+2+3+…+99+100=?当时为什么高斯能正确地、迅速地得到答案?他可能上这样想的:1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,所以答案是101×50=5050;也许,他用两次题目中的加数、颠倒相加而得;也许他用的是另外的方法。尽管历史没有记载他当时的策略方法,但用了推理能力这一点则是无疑的。

    加强运算策略的学习,可以避免复杂运算,优化解决问题的过程。

    在尝试计算求解的过程中,学生经常会从自己的生活经验和思考角度出发,产生不同的运算方法。而传统的数学课程往往忽视这种不同的方法,而直接介绍给学生成人通用的方法。例如用方程解决问题的教学,常常以题型分类,如行程问题、工程问题等。其实学生能够而且应该发明自己的计算策略,这种发明对他们的数学理解是很有帮助的,同时也表明了学生解决问题的多样性。因此,在用方程解决问题的教学中,应强调对实际问题的数量关系的分析,突出解决问题的策略,借助图表、线图整体把握和分析题意,寻找相等关系,并注意检验和解释方程解的合理性.教学中要为学生提供足够的探索和交流的空间,鼓励学生多采用“尝试、猜想、验证”方法去解决问题.

    也许,有人会提出疑问,直接教给学生如何立式计算学生完全可以掌握,何必花费那么多时间在尝试、思考和讨论上。这里涉及到一个价值取向的问题。

    例如,解一元一次方程,一般学生都是按照“规矩”进行下列的运算:两边同乘3,得,移项合并同类项,得,两边同除2,得。也有的同学采用先移项、合并同类项后,再进行x系数化为1。然而,在课堂中仍然有“不和谐”的声音:我觉得可以把x与1、放在一起,将看成一个字母,不用计算就可以知道了。

    固定的思维方法在运算中有积极的一面,也有消极的影响,当学生掌握了某一种知识(方法)往入习惯用类似的旧知识(方法)去思考问题,这样必然会出现思维的惰性,影响运算的速度,使运算过程繁冗不堪。在教学过程如果教师不能善于捕捉学生创造性思维的火花,甚至采用打压政策,而一味地要求学生遵循“规范”的解方程程序,不仅会影响了学生的运算能力的发展,更容易损伤学生可贵的探索欲望和创新意识。

    3、学会反思,提高运算的准确性(养成良好的习惯)

    论语中有“吾日三省吾身”、“见贤思齐焉,见不贤而内自省”等,都强调了反思在道德修养中的作用。《学记》中所说“学然后知不足,教然后知困。知不足,然后能自反也;知困,然后能自强也”则是从教学和学习两个方面提出了反思的重要作用。善于反思的人,能不断地矫正错误,科学地设计运算的过程,并提高运算的准确度,逐步养成良好的运算习惯。

    (1)反思错误的成因

    学生计算错误有很多原因,特别是在学生新旧知识之间的符号、表象或概念、命题之间的联系出现编码错误或是产生负迁移。例如,在分式的运算课上老师布置了一个题:

    计算:

    有一位同学的解法是:原式=

    显然该同学的结果错了,出现这样的错误原因是什么呢?在教师的引导下,学生通过分析,认识到这是由于把分式方程变形(去分母)搬到解计算题上了,是思维迁移过程中所产生的负作用所引起的错误。

    但教师又来了个顺水推舟:刚才这种解法虽然错了,但我们能不能考虑利用分式方程的思路来求解呢?

    经过大家的讨论,一个新的方法出现了:

    设   ,去分母,

    得   

    即    ,由此可得计算结果。

    学生计算错误是常有的事,教师应充分利用这种教学资源,引导学生客观地研究出错的原因,研究它与正确解法之间的联系,正确利用学生错解中的合理成份,真正发挥错解在教学的正向作用。

    (2)反思运算的过程

    数学教学中,教师不仅要关注学生能否根据法则、公式等正确地进行计算,更要帮助学生理解运算的算理,能够根据题目的条件寻找合理的、快捷的运算途径。例如,运用四则运算法则进行有理数的运算时,在重视计算结果的准确性的同时,更应重视学生计算的合理性、科学性。如计算就可以采用不同的方法和途径:

    方法1  原式=

    方法2:原式=

    方法3:原式=

    以上三种不同的计算过程,所选用的运算性质与计算目标各有不同,可以通过对照计算过程所体现出的不同的运算方法,引导学生体会每一种运算方法所采取的不同策略对结果的获得所带来的影响。

    (3)反思运算的结果

    对计算的结果进行反思,不仅是检验结果正确与否,更重要的是考察结果是否合理,是否符合实际。

    例如,甲住离学校2千米的地方,已住离学校3千米的地方,他们两个住地相距多远?回答2+3=5或3-2=1对吗?

    有时,从结果的反思我们还能发现问题的设计中的学问。

    例如,在小组交流时有一位同学给大家出了这样的一道题:

    已知 ,求的值。绝大多数同学是借助于解方程组先求出x,y的值,然后代入求解。但有一位同学迅速地得到了结果:

    。正当大家沉浸在对上述算法感叹之中时,有人却提出了质疑:根据已知条件有 ,而是非负的,结果怎么可能是负数的呢?真是“一石激起千重浪”,大家通过对结果的分析,终于明白了题目条件本身存在的问题。

    随着新课程的实施与推进,运算能力已经成为影响学生能力发展的一个相当重要的的一个方面。中学数学教学应该认真倾听学生的思考过程,从中发现出现运算错误的原因,有针对性地加强学生对运算意义的理解,掌握根据问题的需要选择适当的算法和运算工具的方法,培养验证结果的准确性和估算结果的合理性等方面的意识和能力,有效发展学生的运算能力。

    主要参考文献

    《全日制义务教育《数学课程标准》(实验稿)》解读   刘兼孙晓天主编 北京师范大学出版社

    《国家课程标准?初中数学实验教科书》  江苏科学技术出版社  杨裕前  董林伟主编

    《马明数学教育文集》 首都师范大学出版社   马明

    《有效的数学教学技能》  吉林大学出版社  董林伟 李善良主编

    《数学课程设计》  高等教育出版社  刘兼等

    《设计合理的数学教学》  高等教育出版社  马复编著

    《初中数学课堂教学的55个细节》   四川教育出版社  郑强编著

    《关于<数学标准>的若干思考》      东北师范大学  史宁中

    《实现数学课堂教学有效性的思考与建议》   中学数学月刊07年第6期   董林伟

    《当前数学教学值得关注的几个观念问题》   中国数学教育08年第9期  董林伟

    本文发表于核心期刊《数学通报》2009年第9期

     

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